Math 23

Математика – Жизнь


Отбор корней ( исключение «лишних»  корней) в нестандартных заданиях.

Чаще всего рассматриваем  задачи с параметрами.

В вопросах , связанных с числом корней, требуется рассматривать случаи различных и совпадающих корней трехчлена, лежащих в том или ином  конкретном промежутке, но на каждый случай критерии заготовить невозможно. В задачах с параметрами будем находить соответствующие значения параметра («особые») , для них   соответствующие значения корней.

Задание № 1.  Решить уравнение :

    \[\frac{2}{\textrm{х}+1}  + \frac{4}{\textrm{х}-1}  = \frac{3}{\textrm{x}-a}\]

Решение. После необходимых преобразований переходим к задаче

3{\textrm{х}}^2 — 2(3a-1)х — 2a+3=0

Найдем корни данного уравнения отличные от 1,-1 и a.

D( a) = 4({(3\textrm{а}-1)}^{2\ }-3(-2а+3))= 4(9{\textrm{а}}^2-8),

D(a)\mathrm{\ge}0   т,е   а \mathrm{\le}\frac{2\sqrt{}2}{3} или а\ge \frac{2\sqrt{}2}{3} .

Рассмотрим те значения параметра  а  при  котором  D(a)\ge 0.

При этих значениях уравнение имеет два различных корня

    \[{\textrm{х}}_{1,2\ }=\frac{\left(3\textrm{а}-1\right)\pm \sqrt{9{\textrm{а}}^2}-8}{3} ,\]

Совпадающие при D(a) =0   при   а= —\ \frac{2\sqrt{2}}{3} , а= \ \frac{2\sqrt{2}}{3}\ .

Вычислим значения в « запрещенных» точках:

f(1)= - 8a+8,   f(-1)= 0, f(a) = — 3a^2+3.

Значит           f\eqref{GrindEQ__1_} =0, а=1,

f(-1) =0, а=- 1,

f(a) =0, а=1 или а =- 1

при значениях а, отличных от 1 , — 1 оба корня отличны от « запрещенных» значений

запишем ответы :

при  а <-1 : {\ \textrm{х}}_{1,2\ }=\frac{\left(3\textrm{а}-1\right)\pm \sqrt{9{\textrm{а}}^2}-8}{3} ,

при  а = -1 : х =-\frac{5}{3} ;

при   -1<\textrm{а}\ <  —\frac{2\sqrt{}2}{3} :    {\textrm{х}}_{1,2\ }=\frac{\left(3\textrm{а}-1\right)\pm \sqrt{9{\textrm{а}}^2}-8}{3} ,

при   а =  —\frac{2\sqrt{}2}{3} :  х= —\frac{2\sqrt{2}+1}{3} ;

при    а =  \frac{2\sqrt{}2}{3}  :  х= \frac{2\sqrt{2}+1}{3} ;

при      \frac{2\sqrt{}2}{3}<\textrm{а}<1  {\ \textrm{х}}_{1,2\ }=\frac{\left(3\textrm{а}-1\right)\pm \sqrt{9{\textrm{а}}^2}-8}{3};

при  а=1 :  х= \frac{1}{3};

при  а>1\ :    {\textrm{х}}_{1,2\ }=\frac{\left(3\textrm{а}-1\right)\pm \sqrt{9{\textrm{а}}^2}-8}{3} ,

при остальных  значениях  а  решений нет.

Задание № 2. Сколько корней , в зависимости от числа а, имеет уравнение

    \[\frac{2\textrm{х}-1}{\textrm{х}-\textrm{а}} = \frac{\textrm{х}+\textrm{а}-1}{\textrm{х}-2\textrm{а}+3}.\]

Решение. Данная задача легко сводится к следующей : сколько различных корней, отличных от  а  и 2а -3, имеет квадратный трехчлен

f(х) = {\textrm{х}}^2-2 (2а -3)х + {\textrm{а}}^2+а -3

Дискриминант  f(х) равен

D(a) = 4(( {2\textrm{а}-3)}^2{\textrm{а}}^2 — а +  3)) =4(3{\textrm{а}}^2  -13а + 12)

А в  « запрещенных» точках :

f(a)= -2{\textrm{а}}^2 +7а -3,  f(2a -3) = -3{\textrm{а}}^2+13а -12.

Так как   D(a) \mathrm{\ge}0 , а\le \frac{4}{3}  или  а \mathrm{\ge}  3,

f(a)=0 равносильно  а=3 или а= \frac{1}{2}\,4

f(2a -3) =0 равносильно а=\ \frac{4}{3}  или а= 3, то  при    \frac{4}{3}<\textrm{а}\ <3  квадратное уравнение, а тем более исходное уравнение не имеет решений, а при остальных значениях а, отличных от 3, \frac{4}{3} ,\frac{1}{2}  исходное уравнение имеет два различных корня. Рассмотрим «особые» значения  а  .

При  а=3 и а=\frac{4}{3} , D(a) =0, оба корня принимают  « запрещенное » значение 2а — 3. Значение

а = \frac{1}{2\ \ }  меньше\frac{4}{3}, так что в этом случае корни f(х)  различны и ровно один из них  принимает « запрещенное » значение а.

Запишем ответ. При  \textrm{а}\ <  \frac{1}{2} , при   \frac{1}{2} <\textrm{а}\ <\frac{4}{3} и  при а>3 исходное уравнение  имеет  два корня, при  а = \frac{1}{2\ \ }  — один корень , при остальных значениях  оно не имеет корней.

Задание № 3. Решить уравнение

    \[\sqrt{2\textrm{х}+1}=\textrm{х}-\textrm{а}\]

Решение. Применяя стандартный прием решения иррациональных уравнений , переходим к задаче : найти корни квадратного трехчлена

f(х)  = {\textrm{х}}^2— 2(а +1)х + {\textrm{а}}^2-1, удовлетворяющие условию х \mathrm{\ge}а.

D(a)= 4(({\textrm{а}}^2+ 2а +1)- {\textrm{а}}^2 +1) = 8 (а +1)

f(a)= -2а -1, \ \ f^/(а) = -2

D(a)\mathrm{\ge}0 , т.е. a \mathrm{\ge} -1 , рассмотрим особые  значения а — корни уравнений

а       D(a) =0 и        f(a)= 0, т.е.  а= -1 и а = —\frac{1}{2} . При а= -1               f(х)  = {\textrm{х}}^2, и его единственный корень равен 0, т.е. больше а; при  а = —\frac{1}{2\ } один корень  f(х) равен   —\frac{1}{2} ,а другой по теореме Виета, равен \frac{3}{2} и больше соответствующего значения  а .

Пусть а отлично от  -1 и —\frac{1}{2} .           f(a)\ >0\ \ \ \ \textrm{а}<\frac{1}{2} и  f^/(а) <0 при любом  а, то  корни             f(х)  будут оба больше а при \textrm{а}<\frac{1}{2} . При а >\frac{1}{2}  будем иметь          f(a)\ <0,\ \textrm{и}\ ,\ \textrm{з}\textrm{н}\textrm{а}\textrm{ч}\textrm{и}\textrm{т},\ \textrm{к}\textrm{о}\textrm{р}\textrm{н}\textrm{и}\f(х) лежат по разные стороны от числа а, так что лишь больший корень {\textrm{х}}_{1\ }больше а.

В результате получаем решение

При а = -1 :  х=0;

При а = —\frac{1}{2} :    х  =  \frac{3}{2},    х= —\frac{1}{\ 2}

При  \textrm{а}<\frac{1}{2}  :              {\textrm{х}}_{1,2\ }=(а +1)\pm \sqrt{2\textrm{а}+2};

При а >\frac{1}{2}  :               х= (а+1) +\sqrt{2\textrm{а}+2}

При остальных значениях а решений нет.

Задание №4 При каких значениях а уравнение  а2^{\textrm{х}} +2^{-\textrm{х}} =5 имеет единственное решение ?

Решение. Пусть  у = 2^{-\textrm{х}} ,у  принимает все положительные  значения. Приходим к задаче: при каких значениях  а  квадратный  трехчлен

f(у) = {\textrm{у}}^2 -5у +а

имеет единственный   положительный корень?

Значение параметра а удовлетворяет условию задачи, если трехчлен    f(у) имеет либо корни разных знаков, либо положительный и нулевой корень, либо два равных положительных корня.

Первый  случай имеет место, по следствию из теоремы Виета, при а <0, второй при а =0

(больший корень   {\textrm{х}}_{1\ }= 5) , а третий сличай — при D(a) = 25 -4а ,т.е. при а =\ \frac{25}{4} . В результате получаем , что условию задачи удовлетворяют значения параметра  а <0  и          а =\ \frac{25}{4} .Так как первоначально у = 2^{-\textrm{х}} при а=0  не надо рассматривать дополнительный случай.

 

Ответ : а <0, а =\ \frac{25}{4}.