Чаще всего рассматриваем задачи с параметрами.
В вопросах , связанных с числом корней, требуется рассматривать случаи различных и совпадающих корней трехчлена, лежащих в том или ином конкретном промежутке, но на каждый случай критерии заготовить невозможно. В задачах с параметрами будем находить соответствующие значения параметра («особые») , для них соответствующие значения корней.
Задание № 1. Решить уравнение :
Решение. После необходимых преобразований переходим к задаче
3 — 2(3a-1)х — 2a+3=0
Найдем корни данного уравнения отличные от 1,-1 и a.
D( a) = 4(-3(-2а+3))= 4(9
-8),
т,е а
—
или а
.
Рассмотрим те значения параметра а при котором D(a)
При этих значениях уравнение имеет два различных корня
Совпадающие при D(a) =0 при а= — , а=
Вычислим значения в « запрещенных» точках:
, f(-1)= 0, f(a) = — 3
+3.
Значит f\eqref{GrindEQ__1_} =0, а=1,
f(-1) =0, а=- 1,
f(a) =0, а=1 или а =- 1
при значениях а, отличных от 1 , — 1 оба корня отличны от « запрещенных» значений
запишем ответы :
при а :
=
,
при а = -1 : х = ;
при -1 —
:
=
,
при а = — : х= —
;
при а = : х=
;
при
=
;
при а=1 : х= ;
при а
=
,
при остальных значениях а решений нет.
Задание № 2. Сколько корней , в зависимости от числа а, имеет уравнение
Решение. Данная задача легко сводится к следующей : сколько различных корней, отличных от а и 2а -3, имеет квадратный трехчлен
f(х) = -2 (2а -3)х +
+а -3
Дискриминант f(х) равен
D(a) = 4(( —
— а + 3)) =4(3
-13а + 12)
А в « запрещенных» точках :
f(a)= -2 +7а -3, f(2a -3) = -3
+13а -12.
Так как D(a) 0 , а
или а
3,
f(a)=0 равносильно а=3 или а= ,4
f(2a -3) =0 равносильно а= или а= 3, то при
квадратное уравнение, а тем более исходное уравнение не имеет решений, а при остальных значениях а, отличных от 3,
,
исходное уравнение имеет два различных корня. Рассмотрим «особые» значения а .
При а=3 и а= , D(a) =0, оба корня принимают « запрещенное » значение 2а — 3. Значение
а = меньше
, так что в этом случае корни f(х) различны и ровно один из них принимает « запрещенное » значение а.
Запишем ответ. При
, при
и при а
исходное уравнение имеет два корня, при а =
— один корень , при остальных значениях оно не имеет корней.
Задание № 3. Решить уравнение
Решение. Применяя стандартный прием решения иррациональных уравнений , переходим к задаче : найти корни квадратного трехчлена
f(х) = — 2(а +1)х +
-1, удовлетворяющие условию х
а.
D(a)= 4((+ 2а +1)-
+1) = 8 (а +1)
f(a)= -2а -1, (а) = -2
D(a)0 , т.е. a
-1 , рассмотрим особые значения а — корни уравнений
а D(a) =0 и f(a)= 0, т.е. а= -1 и а = — . При а= -1 f(х) =
, и его единственный корень равен 0, т.е. больше а; при а = —
один корень f(х) равен —
,а другой по теореме Виета, равен
и больше соответствующего значения а .
Пусть а отлично от -1 и — . f(a)
—
и
(а)
при любом а, то корни f(х) будут оба больше а при
—
. При а
—
будем иметь f(a)
f(х) лежат по разные стороны от числа а, так что лишь больший корень
больше а.
В результате получаем решение
При а = -1 : х=0;
При а = — : х =
, х= —
При —
:
(а +1)
;
При а —
: х= (а+1) +
При остальных значениях а решений нет.
Задание №4 При каких значениях а уравнение а +
=5 имеет единственное решение ?
Решение. Пусть у = ,у принимает все положительные значения. Приходим к задаче: при каких значениях а квадратный трехчлен
f(у) = -5у +а
имеет единственный положительный корень?
Значение параметра а удовлетворяет условию задачи, если трехчлен f(у) имеет либо корни разных знаков, либо положительный и нулевой корень, либо два равных положительных корня.
Первый случай имеет место, по следствию из теоремы Виета, при а 0, второй при а =0
(больший корень = 5) , а третий сличай — при D(a) = 25 -4а ,т.е. при а =
. В результате получаем , что условию задачи удовлетворяют значения параметра а
0 и а =
.Так как первоначально у =
при а=0 не надо рассматривать дополнительный случай.
Ответ : а 0, а =
.