Math 23

Математика – Жизнь


Применение свойств квадратного трехчлена к решению нестандартных задач.

При решении задач необходимо научиться видеть квадратный трехчлен в любой, сколь угодно замаскированной  форме и воспользоваться его формами.

Рассмотрим  некоторые задачи.

Задание №1.

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 8x^2 - 6xy+y^2=0.

Первый способ. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно x, считая y параметром; тогда, как легко подсчитать , оно имеет корни  x_1=\frac{y}{2}  и x_2=\frac{y}{4} . Следовательно, данное уравнение можно представить в виде (x -\frac{y}{\ 2})(x-\frac{y}{4})=0, т.е. оно выполняется при x=\frac{y}{2} и при x=\frac{y}{4} так что искомое множество является объединение двух прямых с уравнениями y= 2x и y=4x.

Второй способ. Если поступить наоборот и переписать данное уравнение в виде y^2-6xy+8x^2 =0, то решение не потребовало бы использования дробей, а для построения графиков уже не пришлось бы выражать y через x.

Третий способ. Еще один часто используемый вариант решения этой задачи, основан на важном математическом понятии однородности. Именно, если считать переменные x и y как, собственно, и имеется в виду в условии, равноправными, то левая часть уравнения однородна в том смысле, что все ее слагаемые имеют по переменным x и y суммарную степень 2.

Это обстоятельство  можно использовать следующим образом: разделив обе части уравнения на y^2, получим квадратный трехчлен стандартного вида относительно t=\frac{x}{y} с числовым  коэффициентом, после чего решения уже не предоставляют труда. Однако по понятным причинам, предварительно следует рассмотреть случай y=0 — в этом случае мы получаем  x=0, т.е. точку ординат.

Задание №2.

Имеет ли решение неравенство 9^{x+1}+ 7\cdot 4^{x+\frac{1}{2}} < 8\cdot 6^x?

Решение.

В этой задаче ещё в меньшей степени, чем в предыдущей. Виден квадратный трехчлен, но если заметить, что числа 9, 4 и 6 «состоят» из множителей 2 и 3 , то после очевидных  преобразований

9^{x+1\ }=9\cdot 3^{2x}, 4^{x+\frac{1}{2}}=2\cdot 2^x, 6^x=2^x\cdot 3^x

мы придем к неравенству

9\cdot 3^x - 8\cdot 2^x \cdot 3^x+ 14 \cdot 2^{2}x<0.

И если теперь мысленно обозначить 3^x через y, а 2^x через z, то придем к выражению того же вида, что и в предыдущей задаче — однородному относительно y и z.

Но  в данном случае, поскольку мы имеем дело с неравенством, надо еще знать как знак выражения, на которое мы собираемся делить, а поскольку z^2=4^x всегда положительно, то после деления, обозначив \frac{y}{z} через t, мы получим неравенство 9t^2-8t+14<0. Легко подсчитать, что дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части, отрицателен, и так как его старший коэффициент положителен, то трехчлен положителен при любом значении t. Следовательно, последнее неравенство, а вместе с ним и исходное неравенство решений не имеют.

Задание№3.

Доказать неравенство  a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca.

Решение.

Переписав данное неравенство в виде

a^2- a(b+c) +b^2+c^2-bc \ge 0.

заметим, что левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно a (с параметрами b и c), и поэтому следует убедиться, что его дискриминант положителен. Поскольку

D= (b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)=-3b^2+6bc-3c^2=-3(b-c)^2,

то исходное неравенство справедливо.

Эта задача может быть решена и несложной группировкой:

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2+\frac{1}{2}(a-c)^2.

Задание №4.

Решить систему уравнений   \left\{ \begin{array}{c}  4x^2-4xy-3y^2-2x+7y-2=0, \\  3x^2+xy+2y^2-13x+11y+10=0 \end{array}  \right.

Решение:

Первое уравнение записано в виде:  4x^2-(4y+2)x-3y^2+7y-2=0,

то дискриминант трехчлена, стоящего в левой части уравнения равен:

D=4[(2y+1)^2+4(3y^2-7y+2)]=4(16y^2-24y+9)= 4(4y-3)^2,

И следовательно, его корни x_1=\frac{3y-1}{2}, x_2=\frac{-y+2}{2}.

Но тогда первое уравнение модно переписать  в виде  (x-\frac{3y-1}{2})(x-\frac{2-y}{2})=0, после чего система легко решается.

Задача №5.

Разложить на линейные множители выражение  x^4+y^4+z^4-2x^2 y^2-2y^2 z^2-2z^2 x^2.

Данное выражение  не является квадратным трёхчленом относительно x, но представляет собой квадратный  трехчлен

f(t)=t^2-2(y^2+z^2)t+(y^2+z^2-2y^2+z^2-2y^2z^2)

относительно t=x^2, и поэтому можно представить его в виде  (t-t_1)(t-t_2)=(x^2-t_1)(x^2-t_2), где t_1 и t_2 неизвестные нам пока корни f(t).

Возьмем  (y+z)^2 и (y-z)^2.

Имеем

f((y+z)^2)=(y+z)^4-2(y^2+z^2)(y+z)^2+(y^2-z^2)^2=  =(y+z)^2[(y+z)^2-2(y^2+z^2)+(y-z)^2]=0.

f(t)=[x^2-(y+z)^2][x^2-(y-z)^2]=  =(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z).

Докажем, что данное выражение равно первоначальному.

(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)=

=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=

=[(x+y)^2-z^2][(x-y)^2-z^2]=

=(x+y)^2 (x-y)^2-[(x+y)^2+)(xy)^2]z^2+z^4=

=(x^2-y^2)^2-(2x^2+2y^2)z^2+z^4=

=x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2z^2x^2,

Что и требовалось доказать.

Задача №6.

Разложить на множители выражение (x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3-2(x^3+y^3+z^3)+6xyz.

Решение. На первый взгляд, в этом выражении нет квадратного трехчлена, однако более внимательный анализ показывает, что после выполнения необходимых преобразований слагаемые, содержащие x^3, взаимно умножаются,  и мы получим в результате квадратный трехчлен  f(x) со старшим коэффициентом 3y+3z (если y+z \neq 0).

Легко поверить, что

f(-y)=f(-z)=0

и следовательно,

f(x)=3(x+y)(x+z)(y+z).

Те же самые идеи могут быть применены и для решения других задач, в частности, для доказательства тождеств.

Задача№7.

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству

x^3(y-2)+y^3(2-x)+8(x-y)=0.

Для решения задачи полезно разложить данное выражение на множители; оно является многочленом f(x) степени 3 относительно x, и как легко проверить, f(x)=0, так что следует ожидать, что один из множителей будет равен x-y. Поэтому мы должны попытаться выделить этот множитель группировкой, и эта цель уже достаточно ясно определяет нужную группировку:

f(x)=x^3y-xy^3-2(x^3-y^3)+8(x-y)=

=(x-y)[(x+y)xy-2(x^2+xy+y^2)+8\right]=

=(x-y)[(y-2)x^2-(y^2-2y)x+(8-2y^2)]=

=(x-y)(y-2)(x^2+yx-2y-4)=

=(x-y)(y-2)[(x+2)(x-2)+y(x-2)]=

=(x-y)(y-2)(x-2)(x+y+2).

Поэтому искомое множество является объединением четырех прямых  y=x, y=2, x=2, y=-x-2.

Задача №8.

Доказать, что число составное 121^3+374^3+26^3-78 \cdot 121 \cdot 374.

Для доказательства этого утверждения мы должны попытаться разложить данное выражения на множители; обозначив через a, b, c соответственно числа 121, 374, 26 получим кубический многочлен f(a) относительно a, и если его можно разложить на множители, то один из этих множителей должен быть линейным (по каждому из переменных a, b, c), и более того, можно ожидать, что он будет симметричным относительно a, b, c, поскольку данное выражение симметрично. Многочлен  f(a) должен обращаться в 0 при a=-b-c, и действительно,

f(-b-c)=-(b+c)^3+b^3+c^3+3(b + c)bc=0.

Докажем, что сумма p=a+b+c действительно выделяется множителем из f(a). Каждый раз мы выделяем эту сумму и вводим дополнительные слагаемые:

f(a)=a^3+b^3+c^3-3abc=

=a^2(a+b+c)-a^2b-a^2 c+b^3+c^3-3abc=

=a^2p-ab(a+b+c)+ab^2+abc-ac(a+b+c)+abc+ac^2+b^3+c^3-3abc=

=(a^2-ab-ac)p+ab^2+ac^2+b^3+c^3-abc=

=(a^2-ab-ac)p+b^2(a+b+c)-b^3-b^2 c+c^2(a+b+c)-bc^2-c^3+b^3+c^3-abc=

=(a^2-ab-ac+b^2+c^2)p-bcp=

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc).

Данное число делиться на 121+374+26=521. Второй сомножитель отличен от 1. Выражение a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc =\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] =\frac{1}{2} (153^2+348^2+95^2) (см. задание №3).

Способ целенаправленной группировки является универсальным: этим способом можно выделить линейный множитель вида x-p из многочлена любой степени  —  лишь бы число p было корнем этого многочлена.